Résumé d'ouverture: La table de la loi normale centrée réduite N(0,1) permet de lire rapidement des probabilités et des quantiles pour des variables gaussiennes standardisées. Pour estimer P(Z ≤ z) ou P(Z ≥ z), on lit l intersection de la ligne correspondant à la partie entière et au dixième, puis de la colonne correspondant au centième. La symétrie Φ(-x) = 1 - Φ(x) permet de traiter les valeurs négatives sans nuancer les colonnes. Ce tutoriel donne une méthode claire, des exemples concrets et des pièges fréquents à éviter lors des contrôles en prépa.
Table N(0,1) : guide pratique pour lire et utiliser la courbe gaussienne
La table de probabilité associée à la loi gaussienne standardisée donne P(Z ≤ z) pour Z ~ N(0,1). Elle est utile pour les calculs en probabilités, en statistiques et dans les intervalles de confiance. En prépa, on y recourt pour passer d une loi générale à N(0,1) via Z = (X - μ)/σ et pour lire rapidement les quantiles critiques lors des exercices et oraux. L'objectif est d'obtenir des valeurs précises, sans approximation excessive, et d éviter les erreurs de type bilatéral/unilatéral qui coûtent cher sur les copies.
- Lire x dans la table : isolez la partie entière et le dixième (par exemple x = 1,28 → ligne 1,2).
- Ajouter le centième : utilisez la colonne correspondant au centième (ici 0,08 pour 1,28).
- Intersection : l’élément à l’intersection donne Φ(x) (≈ probabilité cumulée).
- Utiliser la symétrie : pour les x négatifs, Φ(-x) = 1 − Φ(x).
- Lecture inverse (quantile) : pour trouver z tel que Φ(z) = p, cherchez la valeur la plus proche dans la table.
- Arrondir avec rigueur : conserver quatre décimales lorsque cela est demandé; une décimale de trop peut changer l’interprétation.
Exemple central entièrement résolu ci-dessous, démontrant chaque étape et chaque justification.
Lecture rapide par MECE (Mutually Exclusive, Collectively Exhaustive):
- Étape 1 : repérer la partie entière et le dixième de x.
- Étape 2 : ajouter le centième via la colonne correspondante.
- Étape 3 : utiliser la symétrie pour les valeurs négatives.
- Étape 4 : passer de la probabilité à un quantile par lecture inverse.
Assurer la compréhension passe par l’usage concret des formules:
Φ(x) = probabilité cumulative de Z ≤ x pour Z ~ N(0,1). φ(x) est la densité: φ(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}. La relation clé Φ(x) + Φ(-x) = 1 est un outil indispensable en prépa.
- Transformation X ~ N(μ, σ^2) vers Z : Z = (X − μ)/σ, puis lecture dans N(0,1).
- Propositions utiles : P(Z ≤ z) est la base; les quantiles bilatéraux et unilatéraux se lisent différemment selon le problème.
Exemple numérique d’application:
Pour Z = 1,28, la ligne est 1,2 et la colonne 0,08. L’intersection donne Φ(1,28) = 0,8997. Par symétrie, Φ(-1,28) = 1 − 0,8997 = 0,1003. Pour un quantile bilatéral 95 %, z ≈ ±1,96 (voir tableau). Ces chiffres permettent d’établir des intervalles de confiance et d’évaluer des probabilités dans des exercices.
Rappel: les valeurs critiques et les interprétations dépendent du type de test (unilatéral vs bilatéral). Un mauvais choix conduit à un faux positif ou négatif sur une copie.
Notions liées et conseils pratiques
- Φ(x) et φ(x) ne sont pas identiques: Φ est une probabilité cumulée; φ est une densité (hauteur) au point x.
- Utiliser la symétrie Φ(-x) = 1 − Φ(x) évite d’avoir à lire des valeurs négatives dans la table.
- Changer de variable permet d’appliquer la table N(0,1) à X ~ N(μ, σ^2): Z = (X−μ)/σ.
- Solution : Φ(0,75) ≈ 0,7734; P(Z ≥ −0,50) = Φ(0,50) ≈ 0,6915.
- Corrigé bref : P(Z ≤ 0,75) = 0,7734; P(Z ≥ −0,50) = 0,6915. Pas d’arrondi au-delà de 4 décimales.
Cas pratiques et erreurs fréquentes
- Arrondis abusifs faussent les seuils des tests; privilégier 4 décimales.
- Oubli de l’opération complémentaire pour les queues: 1 − Φ(x) est nécessaire pour P(Z > x).
- Mélanger unilatéral et bilatéral dans une même question corrompt l’interprétation.
Tableau utile des valeurs critiques (z)
| Type | 90% | 95% | 99% |
|---|---|---|---|
| Unilatéral | z ≈ 1,28 | z ≈ 1,64 | z ≈ 2,33 |
| Bilatéral | z ≈ 1,64 | z ≈ 1,96 | z ≈ 2,58 |
Exercice-type et corrigé bref pour s’entraîner
Énoncé :
Calculer P(Z ≤ 1,00) et P(Z ≥ 0, -0,5) pour Z ~ N(0,1). Donnez les résultats à 4 décimales et précisez si l’opération est bilatérale ou unilatérale.
- Correction rapide : Φ(1,00) ≈ 0,8413; P(Z ≥ 0) = 1/2; P(Z ≥ −0,5) = Φ(0,5) ≈ 0,6915.
Ressources utiles pour approfondir :
- Comprendre les sciences en classes préparatoires
- Comment bien choisir la prépa de votre enfant
- Calendrier prépa 2025
- Loi normale — Wikipedia
- Distribution normale — Wikipedia
- Lecture inverse pratique : pour p = 0,95, chercher le z tel que Φ(z) ≈ 0,95 → z ≈ 1,645.
- Pour un intervalle de confiance bilatéral à 95 %, reprendre les quantiles ±1,96.
À retenir :
- Comprendre Φ et φ est indispensable pour lire la table gaussienne.
- Utiliser la symétrie permet de traiter les x négatifs sans chercher des valeurs négatives dans la table.
- Différencier entre unilatéral et bilatéral, et employer 1 − Φ pour les queues droites.
- Lire ligne puis colonne assure une extraction rapide et fiable des probabilités.
- Pour les intervalles et les tests, les valeurs critiques à connaître s’obtiennent par les quantiles bilatéraux/unilatéraux.
- Les transformations X → Z standardisent les calculs et facilitent les exercices et oraux.
- Vérifier toujours l’unité et l’arrondi; un écart de 0,001 peut changer le résultat sur un exercice.