Fonction gamma : définition, propriétés et liens avec la factorielle

La fonction gamma est le prolongement de la notion de factorielle à tous les réels et à tous les nombres complexes. Elle est définie par Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z−1} e^{−t} dt pour Re(z) > 0 et se prolonge par continuité analytique à C {0, −1, −2, ...}. Cette extension rétablit le lien avec la factorielle via Γ(n) = (n−1)!, n ∈ N. Parmi ses propriétés phares figurent la relation de récurrence Γ(z+1) = z Γ(z) et la formule de réflexion Γ(z)Γ(1−z) = π / sin(π z). Le couple Γ et Beta lie des domaines d’intégration et de probabilité, et Γ(1/2) = √π illustre l’interpolation entre les domaines discret et continu. En préparation aux concours, cette fonction fournit un cadre unificateur pour les intégrales, les séries et les distributions normales et gamma.

Fonction gamma : définition et cadre d'utilisation en prépa

Notions clés placées en avant permettent une réutilisation simple en DS. Les étapes ci-dessous épousent une structure standardisée, utile pour les devoirs surveillés et les khôlles.

1. Définition Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z−1} e^{−t} dt pour Re(z) > 0. Cette intégrale converge et est continue en z dans ce domaine.
2. Domaine et continuation Le domaine s’étend à tout z complexes sauf les entiers négatifs et nuls, par continuation analytique. Le prolongement est méromorphe avec des pôles en −n, n ∈ ℕ₀.
3. Relation de récurrence Γ(z+1) = z Γ(z). Cette propriété prolonge les idées factorielles: pour n ∈ ℕ, Γ(n) = (n−1)!, et elle autorise des calculs récursifs rapides.
4. Formule de réflexion d’Euler Γ(z)Γ(1−z) = π / sin(π z). Utile pour évaluer Γ à des arguments négatifs et pour établir des symétries analytiques.
5. Lien avec la factorielle Γ(n) = (n−1)!, démontrant que la gamma étend la factorielle au plan complexe. Pour z = n ∈ ℕ, on retrouve n−1 factorial.
6. Lien avec la fonction Beta B(x, y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Cette identité relie les intégrales et les probabilités via Γ.

Exemple central entièrement résolu

Supposons le calcul de Γ(5) et de Γ(3/2). On utilise d’une part la relation de récurrence et, d’autre part, la valeur de base Γ(1/2).

1. Calcul de Γ(5) par récurrence: Γ(5) = 4 Γ(4) = 4·3 Γ(3) = 4·3·2 Γ(2) = 4·3·2·1 Γ(1) = 24.
2. Base utile: Γ(1) = 1 et Γ(n) = (n−1)!, n ∈ ℕ.
3. Calcul de Γ(3/2) via Γ(z+1) = z Γ(z): Γ(3/2) = (1/2) Γ(1/2). Or Γ(1/2) = √π, d’où Γ(3/2) = √π / 2.
4. Conclusion numérique: Γ(5) = 24 et Γ(3/2) = √π / 2.

Ces résultats illustrent le pont entre les entiers et les demi-entiers: Γ(n) s’écrit comme (n−1)!, et les demi-entiers accèdent à √π via les valeurs de base.

Pour enrichir l’intuition, on rappelle que Γ(1/2) = √π est consistent avec l’intégrale gaussienne et la densité normale, établissant un lien probabiliste fort entre les domaines discret et continu.

Erreurs fréquentes

• Confondre Γ(n) et n! pour des valeurs non entières; la relation n ↦ Γ(n) n’est valable que pour n ∈ ℕ dans le cadre de Γ(n) = (n−1)!
• Utiliser la définition intégrale hors du demi-plan Réel positif sans prendre en compte le domaine de convergence.
• Ignorer les pôles en −n lors de l’extension analytique et penser que Γ est holomorphe partout.
• Oublier la remarque Γ(z+1) = z Γ(z) pour les calculs de valeurs non entières.
• Omettre le lien Γ et Beta, qui éclaire les intégrales et les probabilités associées.

Exercice type (corrigé bref)

Exercice: en utilisant Γ(1/2) = √π et la relation de récurrence, calculez Γ(3/2) et Γ(5/2).

Corrigé bref:

1. Γ(3/2) = (1/2) Γ(1/2) = (1/2) √π = √π / 2.
2. Γ(5/2) = (3/2) Γ(3/2) = (3/2) · (√π / 2) = 3√π / 4.

À retenir

• La fonction gamma prolonge la factorielle: Γ(n) = (n−1)!, n ∈ ℕ.
• Γ(z+1) = z Γ(z) relie valeurs consécutives et permet des calculs récursifs simples.
• Γ(z) est définie pour Re(z) > 0 par une intégrale; la continuation analytique étend le domaine à C {0,−1,−2, ...}.
• La formule de réflexion Γ(z)Γ(1−z) = π / sin(π z) introduit une symétrie utile et permet d’évaluer Γ pour des arguments négatifs.

Notions complémentaires et limites

Cas limites et extensions: Γ est méromorphe sur le plan complexe, sans zéros et avec des pôles simples en −n (n ∈ ℕ₀). L’interaction avec la fonction Beta est clé: B(x, y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Le théorème de multiplication et les méthodes numériques (Stirling, Lanczos) permettent le calcul efficace de Γ pour des z complexes et de grandes valeurs.

Pour une vue plus large, la gamma d’Euler et ses propriétés se rencontrent régulièrement dans les domaines des probabilités, de la statistique et de la physique, où elle sert de fondation pour les distributions gamma et beta, les moments et les intégrales multi-dimensionnelles.

Erreurs fréquentes — recap

• Oublier que Γ(n) = (n−1)! ne s’applique que pour n ∈ ℕ; pour les réels et les complexes, Γ est une extension continue mais ne vaut pas une factorial ordinaire.
• Invoquer Γ sans distinguer le domaine Re(z) > 0 et les pôles en −n.
• Ignorer Beta et les liens avec Γ lorsqu’on manipule des intégrales et des distributions.

Applications et liens profonds avec les domaines mathématiques

Les propriétés de la fonction gamma en font un outil central dans les probabilités et le calcul des distributions, en particulier la distribution Gamma et la distribution du Chi carré, qui dépendent directement de Γ. En physique et en ingénierie, Γ intervient dans les intégrales liées à la mécanique quantique et à la thermodynamique, ainsi que dans les formulations de la loi des grands nombres par des formes asymptotiques (formule de Stirling). Enfin, le lien avec la fonction Beta permet d’évaluer des intégrales d’ordre 2 et des interrelations entre variables aléatoires.

Pour enrichir la compréhension, gardez à l’esprit que l’évolution moderne de l’étude du gamma continue d’ouvrir des portes à la théorie des nombres, à la géométrie des espaces de dimension supérieure et à des applications numériques avancées, notamment dans le machine learning et la modélisation statistique.

À retenir (récapitulatif pratique)

• Γ est le prolongement de la factorielle au plan complexe, avec Γ(n) = (n−1)! pour n ∈ ℕ.
• Γ(z+1) = z Γ(z) permet le calcul par récurrence; connaîtreΓ(1) et Γ(1/2) peut suffire pour beaucoup de cas.
• Γ est méromorphe, avec pôles en −n; la continuation analytique est cruciale pour les valeurs non entières.
• La relation Γ(z)Γ(1−z) = π / sin(π z) offre une méthode fiable pour évaluer Γ sur des arguments négatifs.
• La connexion avec Beta fournit une passerelle intégrale et probabiliste entre deux paramètres.
• Les méthodes numériques (Stirling, Lanczos) garantissent précision et performance pour les calculs en concours.