La formule de Stirling donne une estimation précise de n! lorsque n devient grand. Elle s’écrit n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n, et se décline en séries de développement pour améliorer l’approximation. Cet outil est indispensable en analyse asymptotique et en applications combinatoires: calcul rapide du nombre de permutations, estimation de probabilités et de statistiques liées à […]
La fonction gamma est le prolongement de la notion de factorielle à tous les réels et à tous les nombres complexes. Elle est définie par Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z−1} e^{−t} dt pour Re(z) > 0 et se prolonge par continuité analytique à C {0, −1, −2, ...}. Cette extension rétablit le lien avec la factorielle […]
La somme de Riemann offre une définition opérationnelle de l’intégrale. Elle s’appuie sur une partition de l’intervalle et sur des points choisis dans chaque sous-intervalle pour construire une somme de rectangles qui converge vers l’intégrale lorsque le pas des subdivisions tend vers zéro. Cette approche est essentielle en CPGE pour comprendre l’intégration et elle sert […]
La loi de Student s'applique lorsque l'on souhaite estimer la moyenne d'une population à partir d'un échantillon, avec une variance inconnue. Elle décrit la densité t (distribution t de Student) et s'utilise pour construire des intervalles de confiance et pour tester des hypothèses sur une moyenne. Le nombre de degrés de liberté, noté ν, est […]
La loi de Cauchy, aussi appelée loi de Lorentz, est une distribution continue qui ne possède ni espérance ni variance. Sa densité est lorentzienne et dépend de deux paramètres: la localisation x0 et l’échelle a > 0. Elle sert notamment à modéliser des raies spectrales en spectroscopie et à illustrer les limites des lois classiques […]
L’espérance conditionnelle est la moyenne attendue d’une variable aléatoire lorsque l’information disponible est partielle. Elle se note E[X|G] ou E[X|Y] et se définit via une partition ou une sigma-algèbre G. Cet outil permet de décomposer un calcul probabiliste en fonction d’observations intermédiaires, utile dans les exercices de probabilité et les modèles stochastiques rencontrés en concours. […]
Résumé La formule de Taylor-Young offre une approximation locale précise d’une fonction f dérivable autour d’un point a par un polynôme de degré n, avec un reste contrôlé. Cette méthode est centrale en prépa pour évaluer rapidement des expressions compliquées, estimer des erreurs et préparer les exercices d’analyse et d’approximation. L’approximation locale se calcule à […]
Résumé d'ouverture: La table de la loi normale centrée réduite N(0,1) permet de lire rapidement des probabilités et des quantiles pour des variables gaussiennes standardisées. Pour estimer P(Z ≤ z) ou P(Z ≥ z), on lit l intersection de la ligne correspondant à la partie entière et au dixième, puis de la colonne correspondant au […]
La loi gamma est une distribution de probabilité continue sur x > 0, dependante des paramètres α ( forme ) et β ( échelle ). Elle modélise les temps d’attente et les durées de vie. En concours, on exploite surtout les densités, les moments et la propriété de somme. Cette fiche expose les notions essentielles, […]
La matrice variance-covariance est l’outil clé pour résumer les dépendances linéaires entre plusieurs variables. Elle regroupe les variances sur la diagonale et les covariances hors diagonale. En 2025, cet objet est central en analyse multivariée, en finances et en apprentissage automatique. Elle permet d’évaluer le risque, d’orienter les reductions de dimension et de comprendre comment […]