Formule de Stirling : approximation de n! et applications

La formule de Stirling donne une estimation précise de n! lorsque n devient grand. Elle s’écrit n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n, et se décline en séries de développement pour améliorer l’approximation. Cet outil est indispensable en analyse asymptotique et en applications combinatoires: calcul rapide du nombre de permutations, estimation de probabilités et de statistiques liées à des grands ensembles. Dans les concours, elle permet de réduire des écritures lourdes en expressions simples et directement exploitable.

Formule de Stirling et ses applications en comptage et probabilités

La notion clé est la factorielle (n!), qui compte les permutations d’un ensemble de n éléments. Le lien avec l’analyse asymptotique passe par les approximations numériques: on peut écrire n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n et, si nécessaire, utiliser des termes de correction. Le gamma (Γ) prolonge n! à tout entier via Γ(n+1) = n!, ce qui clarifie les relations analytiques et les limites. Pour les CPGE, cela permet d’évaluer rapidement des quantités comme le nombre de permutations et les probabilités associées.

Notions clés

1. Définition: la factorielle n! compte les permutations d’un ensemble de n objets; elle est liée à la fonction gamma par Γ(n+1) = n!.
2. Énoncé fondamental: Formule de Stirling n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n, lorsque n → ∞.
3. Version logarithmique: ln(n!) ~ n ln n − n + (1/2) ln(2πn) et, en base 10, log10(n!) ≈ (n+1/2) log10 n − n log10 e + (1/2) log10(2π).
4. Corrections: n! = sqrt(2πn) (n/e)^n [1 + 1/(12n) + 1/(288 n^2) − …]. Cette série est appelée série de Stirling.
5. Bornières et fidélité: les bornes de Robbins donnent sqrt(2πn) (n/e)^n ≤ n! ≤ sqrt(2πn) (n/e)^n exp(1/(12n)) pour n ≥ 1; elles donnent un contrôle sur l’erreur relative.
6. Applications: applications combinatoires pour le nombre de permutations, et en probabilités pour estimer des statistiques quand les tailles d’échantillon deviennent grandes.
7. Analyse pratique: pour estimer le nombre de chiffres de n!, on peut utiliser log10(n!).
8. Contexte utile: n! sert aussi au calcul des grandes factorielles en formule de Stirling et dans les liens avec factorielle.
9. Pour approfondir l’aspect fondamental et les propriétés de la fonction gamma, voir les ressources associées.

Pour illustrer l’usage, voyons une estimation numérique rapide et fiable en base logarithmique et en chiffres.

Exemple central entièrement résolu

Problème: estimer le nombre de chiffres de 1000! et vérifier l’ordre d’amplitude avec Stirling.

1. Utiliser la version log10: log10(n!) ≈ (n+1/2) log10 n − n log10 e + (1/2) log10(2π).
2. Remplacer n par 1000 et connaître les constantes: log10 n = log10(1000) = 3; log10 e ≈ 0,4342944819; log10(2π) ≈ 0,798179868; donc (1/2) log10(2π) ≈ 0,399089934.
3. Calculer les termes: (n+1/2) log10 n = 1000,5 × 3 = 3001,5 et n log10 e = 1000 × 0,4342944819 ≈ 434,2944819.
4. Mettre ensemble: log10(1000!) ≈ 3001,5 − 434,2944819 + 0,399089934 ≈ 2567,604608014.
5. Nombre de chiffres: digits(1000!) ≈ floor(2567,604608014) + 1 = 2568.
6. Vérification par bornes (Robbins): l’approximation est bien conforme pour n = 1000; l’erreur relative est o(1) et l’écart est inférieur à quelques unités sur l’échelle des 2567 chiffres.

Résultat: 1000! compte environ 2568 chiffres. Cette estimation est très utile dans les calculs de probabilités et dans les analyses de complexité où l’ordre de grandeur prime sur la précision exacte.

Cette approche s’applique directement au calcul du nombre de permutations et à d’autres quantités liées à applications combinatoires et probabilités quand les grandeurs deviennent élevées.

Pour aller plus loin, regardez cette seconde ressource

Vous pouvez aussi consulter nombre de permutations et les pages associées pour élargir la perspective.

En complément, des liens utiles et des notions associées:

• Factorielle – définitions et propriétés.
• Formule de Stirling – démonstrations et variantes.
• Analyse asymptotique – concepts et exemples.
• Fonction Gamma – propriétés – lien direct vers les propriétés liées à la factorielle.
• Permutation – liens vers les nombres de permutations et leurs applications.

Précisions secondaires

Plusieurs variantes et approfondissements complètent l’outil Stirling. Utiliser la série de Stirling permet d’accroître la précision sans complexité majeure. La version simplifiée suffit pour les estimations d’ordres et pour les contrôles en concours.

• Version étendue: n! = sqrt(2πn) (n/e)^n [1 + 1/(12n) + 1/(288 n^2) − …].
• Bornes pratiques: √(2πn) (n/e)^n ≤ n! ≤ √(2πn) (n/e)^n exp(1/(12n)) (pour n ≥ 1).
• Utilisation dans les probabilités et les statistiques pour estimer des quantités liées à des échantillons et des lois de distribution.
• Pour les grandes factorielles, le calcul de log10(n!) offre une estimation fiable du nombre de chiffres et de l’ordre de grandeur.
• Référenceite pertinentes: analyse asymptotique et formule de Stirling.

Erreurs fréquentes: négliger les conversions entre bases (ln vs log10), oublier le terme (n+1/2) dans les versions logarithmiques, ou omettre les termes de correction lors d’estimations précises.

Pour approfondir, regardez d’autres explications visuelles et démonstrations dans les vidéos ci-dessus et dans les ressources associées.

Encadré À retenir

À retenir :
- La formule de Stirling donne n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n, utile lorsque n est grand.
- La version logarithmique facilite les estimations de grandeurs et de chiffres: ln(n!) ~ n ln n − n + (1/2) ln(2πn).
- Les corrections sous forme de séries améliorent la précision: n! = sqrt(2πn) (n/e)^n [1 + 1/(12n) + 1/(288 n^2) − …].
- Les bornes de Robbins garantissent des encadrements fiables pour tout n ≥ 1.
- En combinatoire, Stirling permet d’estimer rapidement le nombre de permutations et les probabilités associées.

Synthèse et conseil pratique: entraînez-vous sur les séries Stirling et sur les calculs de log pour les grands n. Vérifiez les bornes lorsque la précision est critique. Utilisez les estimations log10(n!) pour estimer rapidement le nombre de chiffres. Appliquez les résultats en probabilité et en statistiques pour des problèmes de grande échelle. Reliez toujours formule de Stirling à n factorielle et au cadre des applications combinatoires.

Pour aller plus loin, explorez les liens et la démonstration de base sur les pages dédiées et les ressources recommandées ci-dessus. Les méthodes s’appliquent en calcul des grandes factorielles et en mathématiques appliquées pour les concours.