Résumé
La formule de Taylor-Young offre une approximation locale précise d’une fonction f dérivable autour d’un point a par un polynôme de degré n, avec un reste contrôlé. Cette méthode est centrale en prépa pour évaluer rapidement des expressions compliquées, estimer des erreurs et préparer les exercices d’analyse et d’approximation. L’approximation locale se calcule à partir des dérivées évaluées en a, et le reste renseigne sur la précision obtenue.
Énoncé clair de la formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young donne l’approximation locale d’une fonction autour d’un point donné. Elle exprime f(x) comme la somme du polynôme de développement et d’un reste qui mesure l’erreur commise par l’approximation.
- Hypothèses essentielles : fonction dérivable jusqu’au rang n+1 sur un intervalle contenant a.
- Énoncé canonique : f(x) = T_{n,a}(x) + R_{n,a}(x), où T_{n,a}(x) = ∑_{k=0}^n f^{(k)}(a)/k! · (x−a)^k.
- Reste du développement : R_{n,a}(x) peut s’écrire sous forme intégrale ou en forme de Lagrange. C’est l’erreur associée à l’approximation polynomiale.
- Utilité concours : estimer rapidement l’erreur et obtenir une expression polynomiale exploitable dans les exercices d’analyse et d’approximation.
Pour les conditions et les formes du reste, on distingue notamment le reste intégral et le reste de Lagrange. Dans le cadre prépa, l’objectif est d’évaluer explicitement le polynôme et de borner le reste de manière pratique.
Notions clés et conditions d’application
- Hypothèses : f est n+1 fois dérivable sur un intervalle entourant a; les dérivées jusqu’à l’ordre n au point a sont bien définies.
- Polynôme de développement T_{n,a}(x) = ∑_{k=0}^n f^{(k)}(a) (x−a)^k / k!.
- Reste : R_{n,a}(x) mesure l’erreur entre f(x) et T_{n,a}(x). Il existe plusieurs formes, dont l’intégrale et la forme de Lagrange.
- Reste intégral : R_{n,a}(x) = ∫_a^x f^{(n+1)}(t)/(n+1)! · (x−t)^n dt pour x proche de a.
- Reste de Lagrange : existe ξ entre a et x tel que R_{n,a}(x) = f^{(n+1)}(ξ) (x−a)^{n+1}/(n+1)!.
Application pratique : pour vérifier l’ordre de l’erreur, on regarde la croissance du reste en fonction de |x−a| et l’ordre du développement. En prépa, cela permet d’estimer directement l’erreur pour une valeur donnée de x.
Exemple central entièrement résolu ci-contre illustre l’emploi de ces idées et les encadrements utilisés au concours.
Exemple central : DL_3(0) de sin(x)
On considère f(x) = sin(x) autour de a = 0 et de rang n = 3. On vérifie d’abord que sin est trois fois dérivable, ce qui est vrai sur tout ℝ. Les dérivées successives en 0 donnent :
- f(0) = sin(0) = 0
- f′(0) = cos(0) = 1
- f′′(0) = −sin(0) = 0
- f′′′(0) = −cos(0) = −1
Le développement linéaire au troisième ordre est donc :
sin_{3,0}(x) = x − x^3/6 + R_{3,0}(x).
Reste intégré :
R_{3,0}(x) = ∫_0^x sin(t)/24 · (x−t)^3 dt.
Encadrement du reste : comme |sin t| ≤ 1 sur [0, x], on obtient
|R_{3,0}(x)| ≤ ∫_0^{|x|} 1/24 · (|x|−t)^3 dt = |x|^4/96.
Dette de l’encadrement : pour tout |x| ≤ π, on a
x − x^3/6 − x^4/96 ≤ sin(x) ≤ x − x^3/6 + x^4/96.
Développement limité d’ordre n en a : DL_n(0) pour sin(x) donne
sin(x) = ∑_{k=0}^n (−1)^k x^{2k+1}/(2k+1)! + R_{n,0}(x), avec
|R_{n,0}(x)| ≤ |x|^{2n+3}/(2n+3)! lorsque n est choisi et l’on prend la forme correspondant à l’ordre considéré.
Dans le cas concret, pour n = 3, le terme du reste est de rang 4, et l’encadrement donne une borne du type |R_{3,0}(x)| ≤ |x|^4/96.
Cette démonstration illustre l’énoncé mathématique et montre comment passer de l’énoncé à l’estimation pratique utile en prépa.
Cas pratiques et variantes
Exercice type : DL_2(0) de ln(1+x) et correction rapide
Donner le développement limité d’ordre 2 de ln(1+x) autour de 0 et encadrer le reste. Indiquer le rayon de convergence autour de 0 et une borne simple du reste.
- Éléments à montrer : dérivées successives en 0, expression de T_{2,0}(x), forme du reste et estimation.
- Corrigé rapide proposé :
On a f(x) = ln(1+x). Alors
- f(0) = 0
- f′(x) = 1/(1+x) → f′(0) = 1
- f′′(x) = −1/(1+x)^2 → f′′(0) = −1
T_{2,0}(x) = f(0) + f′(0)x + f′′(0)/2 x^2 = x − x^2/2.
Reste par la forme de Lagrange : R_{2,0}(x) = f^{(3)}(ξ) x^3/3! = 2/(1+ξ)^3 · x^3/6 pour un ξ entre 0 et x.
Sur l’intervalle |x| < 1, on a |f^{(3)}(ξ)| ≤ 2, d’où
|R_{2,0}(x)| ≤ 2 · |x|^3 / 6 = |x|^3/3.
Conclusion pratique :
- DL_2(0) ln(1+x) = x − x^2/2
- Reste < |R_{2,0}(x)| ≤ |x|^3/3 pour |x| < 1
Cette méthode illustre comment gérer les cas où la fonction est non polynomiale mais l’ordre de développement reste gérable.
À retenir
- Formule de Taylor-Young : approximations locales par un polynôme + reste contrôlé.
- Hypothèses : f est (n+1) fois dérivable dans un voisinage de a.
- T_{n,a}(x) : polynôme de développement obtenu à partir des dérivées en a.
- Reste : forme intégrale ou forme de Lagrange; encadrement systématique par le reste.
- Applications en prépa : estimation rapide d’expressions compliquées et gestion de l’erreur dans les énoncés d’analyse.
- DL_n(0) et sin(x) : la série de sin est alternée et ne contient que les ordres impairs, avec reste qui tend rapidement vers 0 lorsque n augmente.
- DL_2(0) ln(1+x) : exercice-type montrant l’utilisation pratique pour des fonctions élémentaires et l’estimation du reste.
- Reste et ordre du développement : le reste est d’ordre supérieur au dernier terme du polynôme; sa borne dépend de la forme choisie (intégrale ou Lagrange).
- Pour tout élève, maîtriser l’énoncé, savoir écrire le polynôme T_{n,a} et savoir encadrer le reste permet de gagner en clarté et en précision lors des devoirs surveillés.
- Conseil pratique : entraînez-vous sur des développements autour de 0 et autour d’un point, puis comparez l’erreur mesurée avec l’encadrement théorique pour automatiser la reconnaissance des ordres et des restes en DS.
- Utilisez les outils visuels et les calculs pas-à-pas pour ancrer l’idée : la forme polynômiale simplifie les calculs et le reste garantit la fiabilité.
Pour enrichir l’étude, consultez ces ressources et expérimentez avec des exemples similaires dans vos exercices de prépa.