Loi gamma : densité, paramètres, espérance et applications

La loi gamma est une distribution de probabilité continue sur x > 0, dependante des paramètres α ( forme ) et β ( échelle ). Elle modélise les temps d’attente et les durées de vie. En concours, on exploite surtout les densités, les moments et la propriété de somme. Cette fiche expose les notions essentielles, puis un exemple entièrement résolu, un exercice type et un encadré À retenir pour révisions rapides en prépa.

Loi gamma : densité, paramètres, espérance et applications

La densité de la loi Gamma à deux paramètres est f(x; α, β) = 1/(Γ(α) β^α) · x^{α-1} · e^{-x/β} pour x > 0. La version à un paramètre se obtient par β = 1 et devient f(x; α) = x^{α-1} e^{-x} / Γ(α). Les moments donnent E[X] = αβ et Var[X] = αβ^2 pour la version deux paramètres; pour la version un paramètre, E[X] = α et Var[X] = α. Ces formules servent directement dans les épreuves et dans les applications temporelles. En pratique, la loi gamma se prête à la modélisation temps d’attente et à l’étude des risques assurance via les intervalles de confiance et les estimations du maximum de vraisemblance.

Notions clés

Procédure condensée pour l’intervalle d’étude en DS :

1. Définir la paramétrisation choisie. Gamma(α, β) avec α > 0 et β > 0, ou Γ(α, λ) avec λ = 1/β, selon le cadre.
2. Énoncer la densité correspondante et préciser le domaine x > 0.
3. Calculer les moments : E[X] = αβ et Var[X] = αβ^2 (pour deux paramètres).
4. Utiliser la propriété de somme : si X_i ~ Gamma(α_i, β) indépendantes, alors ∑ X_i ~ Gamma(∑ α_i, β).
5. Montrer le lien avec l’exponentielle : une Expérience Exp(λ) est Gamma(α=1, β=1/λ).

Exemple central entièrement résolu

1. Paramètres choisis : α = 3, β = 2 (Gamma(3, 2)).
2. Espérance : E[X] = αβ = 3 × 2 = 6.
3. Variance : Var[X] = αβ^2 = 3 × 4 = 12.
4. Densité en x = 4 : f(4; α=3, β=2) = 4^{2} e^{-4/2} / (Γ(3) 2^{3}) = 16 e^{-2} / (2 × 8) = e^{-2}, soit environ 0.1353.
5. Interprétation : l’aire sous la courbe autour de x = 4 et les moments confirment les propriétés de forme dépendant de α et β.

Précisions secondaires

Cas limites et variantes utiles en concours :

• Cas spéciaux : Gamma(1, β) est une distribution exponentielle avec paramètre d’échelle β et moyenne β.
• Paramétrages alternatifs : le couple α ( forme ) et θ ( échelle ), ou α et λ ( taux ), selon les cours et les sujets.
• Somme de variables exponentielles : si X_i ~ Exp(λ) indépendantes, alors ∑ X_i suit Gamma(n, 1/λ).
• Limite normale : lorsque α est grand, Gamma(α, β) converge vers une normale de moyenne αβ et de variance αβ^2.
• Coefficient de variation : CV = sqrt(Var)/E = 1/√α, ce qui mesure la dispersion relative.

Erreurs fréquentes

• Confondre β comme taux plutôt que comme échelle selon la parametrisation choisie.
• Oublier que la densité est nulle pour x ≤ 0 et que Γ(α) apparaît dans le dénominateur.
• Utiliser des valeurs α ou β qui violent α > 0, β > 0.

1. Exercice type : Soit X ~ Gamma(α=2, β=3). Calculer E[X], Var[X] et la densité en x = 4.

Corrigé bref

• Paramètres : α = 2, β = 3.
• E[X] = αβ = 2 × 3 = 6.
• Var[X] = αβ^2 = 2 × 9 = 18.
• Densité en x = 4 : f(4) = 4^{α-1} e^{-4/β} / (Γ(α) β^{α}) = 4^{1} e^{-4/3} / (Γ(2) 3^{2}) = 4 e^{-4/3} / 9 ≈ 0.117.

À retenir

• La loi gamma est définie par α > 0 et β > 0 (ou α et λ = 1/β selon la parametrisation).
• La densité est f(x; α, β) = 1/(Γ(α) β^α) x^{α-1} e^{-x/β}, x > 0.
• Les moments clés : E[X] = αβ, Var[X] = αβ^2.
• La somme de variables gamma indépendantes avec le même β est gamma de forme égale à la somme des αi : ∑ X_i ~ Gamma(∑ α_i, β).
• Le cas α = 1 donne une exponentielle. Pour α grand, la distribution s’approche d’une normale avec moyenne αβ et variance αβ^2.
• Le coefficient de variation vaut 1/√α, ce qui guide l’interprétation des dispersion et de la précision.
• Les applications typiques : modélisation du temps d’attente et estimation par maximum de vraisemblance, intervalle de confiance et modélisation du risque assurance.