La méthode de comparaison série/intégrale permet de déterminer la convergence d’une série à termes positifs en la comparant à une intégrale impropre associée. Elle s’appuie sur des hypotheses simples: une fonction f continue, positive et décroissante sur [1, +∞[, et sur l’encadrement des aires sous la courbe par des sommes et des intégrales. Dans les concours, cette approche donne des résultats robustes pour des séries courantes comme les séries à termes positifs et les cas frontières du type ∑ 1/(n (log n)^p). Elle s’applique aussi bien à des questions d’équivalents qu’à des tests de convergence. En bref, elle transforme une somme en intégrale pour des estimations précises et des similarités asymptotiques.
Méthode de comparaison série/intégrale : cadre et résultats principaux
Notions clés et hypothèses essentielles. Pour pouvoir appliquer la méthode, il faut:
- Supposer f: [1, +∞) → (0, +∞) continue et décroissante.
- Bornes d’aires: pour tout n ≥ 1, ∫_{n-1}^{n} f(x) dx ≥ f(n) et ∫_{n}^{n+1} f(x) dx ≤ f(n).
- Conclure par encadrement: ∫_{1}^{N} f(x) dx ≤ ∑_{n=1}^{N} f(n) ≤ f(1) + ∫_{1}^{N} f(x) dx.
Cette structure mène aux résultats classiques des “tests d’intégrale”: si l’intégrale ∫_{1}^{∞} f(x) dx converge alors ∑_{n=1}^{∞} f(n) converge; si elle diverge, alors la série diverge. La différence entre somme et intégrale demeure bornée lorsque les hypothèses sont satisfaites, ce qui permet des équivalents et des majorations simples.
Exemple intégralement résolu: la série ∑_{n≥1} 1/√n
On prend f(x) = 1/√x, continue, positive et décroissante sur [1, +∞). On encadre la somme par des intégrales télescopiques:
- Pour tout n ≥ 2, ∫_{n-1}^{n} x^{-1/2} dx ≥ n^{-1/2} et, pour tout n ≥ 1, ∫_{n}^{n+1} x^{-1/2} dx ≤ n^{-1/2}.
- En utilisant ∫ x^{-1/2} dx = 2√x, on obtient les inégalités:
2(√n − √(n−1)) ≤ ∑_{k=1}^{n} 1/√k ≤ 2(√(n+1) − 1).
En sommant sur k = 2..n et k = 1..n, on obtient:
- Pour tout n ≥ 2, 2√n + 1 ≥ ∑_{k=1}^{n} 1/√k ≥ 2(√(n+1) − 1).
- En divisant par 2√n et en passant à la limite, on obtient:
∑_{k=1}^{n} 1/√k ∼ 2√n.
Conclusion: la série est divergente, et l’échelle d’ordre est donnée par l’équivalent 2√n. On peut écrire:
∑_{k=1}^{n} 1/√k ∼ 2√n (n → +∞).
Cas adjacent: si l’on remplace f(x) = 1/√x par g(x) = 1/x, l’encadrement conduit à l’intégrale ∫ dx/x = ln x et à l’encadement de la série harmonique, qui diverge. Ainsi:
∑_{n≥1} 1/n diverge, et le critère de comparaison avec l’intégrale explique cela proprement.
Notions clés et variantes du cadre général
Notions essentielles associées à la comparaison série/intégrale et à leurs variantes. Ces outils servent aussi pour des cas limites et des variantes fréquentes dans les sujets de concours.
- Hypothèses usuelles: f continue sur [1, ∞), positive et décroissante; utile aussi si f est monotone sur [a, ∞) avec a > 0.
- Cas frontières: séries du type ∑ 1/(n (log n)^p) montrent la nuance entre convergence et divergence selon le paramètre p (p > 1 converge, p ≤ 1 diverge).
- Utilisation d’intégrales impropres: ∫_{1}^{∞} f(x) dx est le témoin crucial; si cet integrale converge, la série converge, et réciproquement si elle diverge.
- Cas utilisant l’encadrement: les inégalités ∫_{k-1}^{k} f(x) dx ≥ f(k) et ∫_{k}^{k+1} f(x) dx ≤ f(k) se traduisent en sommes télescopiques utiles pour les équivalents.
- Cas non monotones: lorsque f n’est pas monotone, d’autres outils peuvent être nécessaires (par exemple la comparaison avec des suites monotones majeantes/minorantes).
Forme générale
- Hypothèses: f: [1, ∞) → (0, ∞) continue et décroissante.
- Encadrement: ∫_{1}^{N} f(x) dx ≤ ∑_{n=1}^{N} f(n) ≤ f(1) + ∫_{1}^{N} f(x) dx.
- Convergence/ Divergence: ∫_{1}^{∞} f(x) dx converge ∑_{n=1}^{∞} f(n) converge.
Cas typiques
- Séries à termes positifs classiques: f(n) = 1/n^p, p>0.1. Converge si p>1; diverge si p≤1 (par comparaison avec l’intégrale).
- Séries du type ∑ 1/(n (log n)^p): converge si p>1, diverge si p≤1.
- Équivalence: si ∑ f(n) converge et ∫ f → converger alors f(n) équivaut à une expression intégrale adaptée (par exemple f(n) ∼ 2√n pour la suite 1/√n).
Exercice type avec corrigé bref
Question: étudier la convergence de la série à termes positifs ∑_{n≥3} 1/(n (log n)^2). Appliquez la comparaison série‑intégrale ou le test d’intégrale.
- Hint: considérer la fonction f(x) = 1/(x (log x)^2) sur [3, ∞) et calculer l’intégrale ∫_{3}^{∞} f(x) dx.
- Conclusion attendue: la série converge.
Corrigé bref:
- Calcul de l’intégrale: ∫_{3}^{∞} dx/(x (log x)^2) = [−1/log x]_{3}^{∞} = 1/log 3 < ∞.
- Par le test d’intégrale, la série ∑_{n≥3} 1/(n (log n)^2) converge.
- Remarque: le cas p = 1 (∑ 1/(n log n)) diverge; le seuil p > 1 est crucial.
Erreurs fréquentes dans la méthode de comparaison série/intégrale
- Oublier les hypothèses d’homogénéité: f doit être positive et décroissante; négliger la continuité peut invalider l’encadrement.
- Appliquer l’encadrement avec une fonction non monotone; les inégalités ∫_{k-1}^{k} f(x) dx ≥ f(k) et ∫_{k}^{k+1} f(x) dx ≤ f(k) ne tiennent pas.
- Confondre l’ordre de grandeur et l’équivalence: convergence n’implique pas nécessairement un équivalent simple sans calculs supplémentaires.
- Ignorer les cas limites comme ∑ 1/(n (log n)^p): le seuil p=1 est déterminant.
- Utiliser le test du rapport sans vérifier la convergence du ratio; le cas L=1 est fréquent et non concluant.
- Oublier l’impropreité de l’intégrale: l’intégrale doit être convergente sur [1, ∞) pour conclure sur la série.
À retenir
La comparaison entre série et intégrale est un outil robuste pour les séries à termes positifs. Elle repose sur des hypothèses simples: f est positive, continue et décroissante; l’encadrement par des intégrales permet d’obtenir des bornes précises et des équivalents. L’intégrale impropre est le témoin clé: convergence de l’intégrale → convergence de la série et, inversement, divergence de l’intégrale → divergence. Des cas typiques comme ∑ 1/n^p ou ∑ 1/(n (log n)^p) illustrent les seuils critiques. Le test du rapport et le critère de comparaison complètent ce cadre. En pratique, ces outils se manièrent rapidement pour les sujets de concours.
Pour approfondir les notions associées, consultez notamment les ressources suivantes:
- Propriété ROI (définition et propriétés) : Propriété ROI
- Théorème du point fixe en analyse : Théorème du point fixe en analyse
- Suites et séries (révision générale) : Suite (mathématiques) - Wikipedia
- Intégrale impropre : Intégrale impropre - Wikipedia
- Test d’intégrale et comparaison: Test d’intégrale - Wikipedia
Note: les notations et les résultats ci-dessus s’appliquent en contexte CPGE en 2025 et sont directement réutilisables en devoirs et concours. L’approche générale reste la même: encadrer, puis déduire l’existant à partir d’un outil robuste.